Coût moyen

Dans cet exercice on introduit la notion de coût moyen de production à partir d'une modélisation du coût total par une fonction polynôme de degré 3 puis on en étudie des propriétés. 

Dans une entreprise de tissu, le coût total de fabrication de \(x\) kilos de tissu est donné par  \(C_T\left(x\right) = x^3 - 12x^2 + 48x\) , avec \(C_T\left(x\right)\) exprimé en euros.

Partie 1 - Observation de représentations graphiques et conjectures.

Ce fichier de géométrie dynamique montre la représentation graphique de la fonction  \(C_T\) , coût total de production. 
1. Par lecture graphique, donner les variations de la fonction coût total sur \(\left[0 \; ; \; 8\right]\) .
2. En cliquant sur la case correspondante, afficher la courbe représentative de la fonction \(C_m\) , coût marginal. Lire graphiquement l'image de 4 par la fonction \(C_m\) . Interpréter ce résultat.

On définit ensuite la fonction coût moyen de production, notée \(C_M\) , par \(C_M\left(x\right) = \dfrac{C_T\left(x\right)}{x}\)  pour tout  \(x \in \left]0 \; ; \; 8\right]\) .

3. Pour \(x\) kilos de tissu produits, donner une interprétation de \(C_M(x)\) .

4. En cliquant sur la case correspondante, faire afficher la courbe représentative de la fonction   \(C_M\) et en décrire les variations. Combien de kilos faut-il produire pour avoir un coût moyen de production minimal ?

5. En cliquant sur la case correspondante, afficher le point de la courbe représentative de  \(C_M\) correspondant au minimum de la fonction. Quel relation entre coût moyen minimum et coût marginal peut-on conjecturer ?

Partie 2 - Étude des fonctions coût total, coût marginal, coût moyen

1. Étudier les variations de la fonction \(C_T\)  sur l'intervalle  \(\left[0 \; ; \; 8\right]\) .

On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total.

2. Déterminer  \(C_m\left(x\right)\) pour \(x\) appartenant à  \(\left[0 \; ; \; 8\right]\) .

3. Étudier les variations de la fonction \(C_m\)  sur l'intervalle \(\left[0 \; ; \; 8\right]\) .

4. Déterminer  \(C_M\left(x\right)\) pour \(x\) appartenant à  \(\left]0 \; ; \; 8\right]\) .

5. Étudier les variations de la fonction \(C_M\)  sur l'intervalle \(\left]0 \; ; \; 8\right]\) .

6. Pour quelle valeur \(x_0\)  le coût moyen est-il minimal ?

7. Comparer alors \(C_M\left(x_0\right)\)  et \(C_m\left(x_0\right)\) . Que remarque-t-on ?

Ce résultat est général : le coût moyen de production est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.